Буквенные выражения

Зачем нужны буквы

Буква обозначает число, которое может быть разным. Её называют переменной.

Записав правило буквами, мы получаем его сразу для всех чисел. Не нужно расписывать каждый случай отдельно.

Выражение с буквами называют буквенным. Если вместо букв подставить числа, получится обычный пример с ответом.

Подставим в выражение 3a плюс 5 число a равное 4. Получаем 3 умножить на 4 плюс 5, то есть 17.

При другом значении буквы ответ будет другим. Именно поэтому такое выражение и называют переменным: оно меняется вместе с буквой.

Коэффициент

Число перед буквой называют коэффициентом. В слагаемом 7x коэффициент равен семи.

Знак умножения между числом и буквой не ставят. Запись 7x означает семь умножить на икс.

Если коэффициент равен единице, его не пишут. Слагаемое x это то же самое, что 1x.

Минус перед буквой означает коэффициент минус один. Запись −x равносильна (−1) умножить на x.

Подобные слагаемые

Слагаемые с одинаковой буквенной частью называют подобными.

Слагаемые 3a и 7a подобны, их можно сложить. Получится 10a.

А вот 3a и 3b подобными не являются. Это разные величины, и складывать их так же нельзя, как метры с килограммами.

Складывают только коэффициенты, а буква остаётся прежней. Это и называют приведением подобных слагаемых.

Раскрытие скобок с плюсом

Если перед скобками стоит плюс или ничего, скобки просто убирают.

Выражение a плюс (b минус c) превращается в a плюс b минус c. Все знаки внутри остаются прежними.

Раскрытие скобок с минусом

Здесь начинается самое интересное. Минус перед скобками меняет все знаки внутри на противоположные.

Выражение a минус (b минус c) превращается в a минус b плюс c.

Причина в правиле знаков, которое мы разбирали в прошлом уроке. Минус перед скобками это умножение на минус единицу, а оно разворачивает каждое слагаемое.

Умножение на скобку

Если перед скобками стоит множитель, на него умножают каждое слагаемое внутри.

Выражение 3 умножить на (x плюс 2) превращается в 3x плюс 6.

Это распределительное свойство умножения. Мы пользовались им ещё в третьем классе, когда считали 6 умножить на 12 как 6 умножить на 10 плюс 6 умножить на 2.

Проверка подстановкой

У буквенных преобразований есть отличная проверка. Подставь любое число вместо буквы в исходное выражение и в упрощённое.

Если ответы совпали, преобразование скорее всего верное. Если разошлись, ошибка точно есть.

Возьмём выражение 5x минус (2x минус 3) и упростим его до 3x плюс 3. Подставим x равное 2: слева 10 минус 1 равно 9, справа 6 плюс 3 равно 9. Сошлось.

Зачем упрощать

Упрощённое выражение считается быстрее и реже приводит к ошибкам.

Кроме того, из него виден смысл. Выражение 2a плюс 2b можно записать как 2 умножить на (a плюс b), и сразу понятно, что это удвоенная сумма.

Именно так получается формула периметра прямоугольника. Про периметр был урок «Периметр».

Что дальше

В седьмом классе буквенные выражения станут основой алгебры. Из них вырастут уравнения, формулы сокращённого умножения и графики.

Всё это держится на двух умениях из сегодняшнего урока: раскрыть скобки и привести подобные.

Довести их до автоматизма стоит уже сейчас. В седьмом классе на них не останется ни времени, ни внимания: там будет своя новая тема.

Про уравнения был урок «Уравнение», а правила знаков мы разбирали в уроке «Действия с отрицательными числами».