НОД и НОК

Общие делители

Делители числа 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Делители числа 18 это 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Некоторые из них встречаются в обоих списках. Это 1, 2, 3 и 6, и их называют общими делителями.

Самый крупный из них равен шести. Его называют наибольшим общим делителем и коротко записывают НОД.

Общий делитель есть у любой пары чисел, ведь единица делит всё. Иногда он единицей и ограничивается.

Взаимно простые числа

Если наибольший общий делитель равен единице, числа называют взаимно простыми.

Например, 8 и 9. Восьмёрка делится на 1, 2, 4 и 8, девятка на 1, 3 и 9. Общий делитель только один.

Сами числа при этом могут быть составными. Взаимно простыми их делает отсутствие общих множителей, а не собственная простота.

Как искать НОД

Перебирать делители у больших чисел долго. Поэтому пользуются разложением на простые множители.

Раскладываем 12 на множители: 2 · 2 · 3. Раскладываем 18: 2 · 3 · 3.

Выписываем множители, которые встретились в обоих разложениях: двойка и тройка. Перемножаем их и получаем 6.

Общие кратные

Кратные числа 4 это 4, 8, 12, 16, 20, 24 и дальше без конца. Кратные числа 6 это 6, 12, 18, 24, 30.

В обоих списках встречаются 12, 24, 36. Это общие кратные, и их бесконечно много.

Наименьшее из них равно двенадцати. Его называют наименьшим общим кратным и записывают НОК.

Как искать НОК

Способ похож на поиск НОД, только множители берут иначе.

Раскладываем 4 на множители: 2 · 2. Раскладываем 6: 2 · 3.

Берём все множители первого числа и добавляем недостающие из второго. Получается 2 · 2 · 3, то есть 12.

Есть и короткий путь. Произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК. Значит НОК можно найти делением: 4 · 6 : 2 = 12.

Зачем нужен НОД

Главное применение это сокращение дробей. Разделив числитель и знаменатель на их НОД, получаем несократимую дробь сразу, за один шаг.

Второе применение это задачи о нарезке. Ленту длиной 12 метров и вторую длиной 18 метров нужно разрезать на одинаковые куски наибольшей длины без остатка.

Ответ и есть НОД, то есть 6 метров. Из первой ленты выйдет два куска, из второй три.

Зачем нужен НОК

Первое применение это общий знаменатель. Наименьшее общее кратное знаменателей и есть тот самый удобный общий знаменатель.

Второе применение это задачи о совпадениях. Один автобус ходит каждые 12 минут, другой каждые 18.

Если они ушли одновременно, следующий раз это повторится через НОК, то есть через 36 минут.

Такие задачи встречаются и с календарём, и с расписанием, и с мигающими лампочками на гирлянде.

Разбираем задачу целиком

В классе 24 девочки и 36 мальчиков. Нужно составить команды так, чтобы в каждой было поровну девочек и поровну мальчиков. Сколько команд получится?

Ищем НОД чисел 24 и 36. Раскладываем: 24 это 2 · 2 · 2 · 3, а 36 это 2 · 2 · 3 · 3.

Общие множители: 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Значит команд будет двенадцать.

В каждой команде окажется по 2 девочки и по 3 мальчика. Проверка сходится.

Про делимость и простые числа был урок «Делимость и признаки», а общий знаменатель мы искали в уроке «Сложение дробей».