Сокращение дробей

Основное свойство дроби

Значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля.

Умножение мы уже применяли при приведении к общему знаменателю. Теперь используем обратное действие.

Пирог разрезали не на четыре куска, а на восемь, и взяли не три куска, а шесть. Съедено ровно столько же.

Из этого свойства растёт всё, что мы делаем с дробями. Приведение к общему знаменателю, сокращение и сравнение держатся именно на нём.

Как сокращают

Ищут число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. Потом делят на него оба.

Возьмём 18/24. Оба числа делятся на 2, получается 9/12. Оба снова делятся на 3, получается 3/4.

Дальше делить нечего: у тройки и четвёрки нет общих делителей, кроме единицы. Такую дробь называют несократимой.

Проверить это можно по определению взаимно простых чисел. Их наибольший общий делитель равен единице, и сокращать такую дробь бессмысленно.

Сокращение за один шаг

Делить по частям можно, но это долго. Быстрее сразу найти наибольший общий делитель.

Для 18 и 24 наибольший общий делитель равен 6. Делим оба числа на шесть и получаем 3/4 без промежуточных шагов.

Признаки делимости выручают

Чтобы заметить общий делитель, признаки делимости нужно помнить наизусть.

Оба числа чётные, значит делятся на два. Сумма цифр делится на три, значит и число делится. Кончается на ноль или пятёрку, значит делится на пять.

Эти три признака закрывают большинство школьных дробей. Про них был урок «Делимость и признаки».

Чего делать нельзя

Сокращать можно только множители, а не слагаемые. Это самая частая ошибка шестого класса.

В дроби вида (3 плюс 5) на 3 тройки сократить нельзя. Числитель равен восьми, и никакого отношения к тройке эта восьмёрка не имеет.

Сокращают целиком числитель и целиком знаменатель, а не отдельные цифры записи.

Сокращение перед умножением

Есть приём, который экономит массу времени. Дроби сокращают до умножения, а не после.

Умножим 3/8 на 4/9. Можно перемножить всё и получить 12/72, а потом долго сокращать.

Проще сократить крест-накрест заранее: тройка с девяткой дают 1 и 3, четвёрка с восьмёркой дают 1 и 2. Остаётся 1/2 умножить на 1/3, то есть 1/6.

Работать с маленькими числами всегда легче. Про само умножение будет урок «Умножение дробей».

Сравнение сокращённых дробей

Сокращение помогает и при сравнении. Иногда две страшные дроби после сокращения оказываются одинаковыми.

Дроби 15/20 и 21/28 выглядят разными. Но обе сокращаются до 3/4, а значит равны.

Где это нужно

Любой ответ с дробью принято записывать в несократимом виде. Учитель считает несокращённую дробь незаконченным решением.

В жизни мы сокращаем не задумываясь. Никто не говорит «пятьдесят сотых часа», все говорят «полчаса».

Так же поступают повара и строители. Рецепт просит четверть стакана, а не двадцать пять сотых, потому что короткая запись понятнее.

Про виды дробей был урок «Правильные и неправильные дроби», а наибольший общий делитель мы искали в уроке «НОД и НОК».